证法一:

冲激函数高阶导数的傅里叶变换为

由频域微分性质 $t^n f(t) \rla \j^n F^{(n)}(\omega)$, 有

将 $n$ 替换为 $n + k$, 有

记 $m = n + k$, 则

而之前我们已经得到了 $\delta^{(n)}(t) \rla (\j\omega)^n$, 由傅里叶逆变换的唯一性, 有

代入 $m = 0$, 即有

证毕.

证法二:

在筛选性质中, 代入 $f(t) = t^n$, 由于当自然数 $i < n$ 时, $f^{(i)}(0) = 0$, 有

因此 $\delta^{(n)}(t) = \dfrac{n!}{(-t)^n} \delta(t)$. 证毕.

证法三:

之前的两种证法, 最初都只是为了求解其它的问题, $\delta^{(n)}(t) = \dfrac{n!}{(-t)^n} \delta(t)$ 的结论只是意外的收获. 如果只是想证明这点的话, 直接使用数学归纳法即可.

1. 当 $n = 1$ 时, 由 $f(t) \delta'(t) = f(0) \delta'(t) - f'(0) \delta(t)$ 代入 $f(t) = t$, 得 $\delta'(t) = -\dfrac{\delta(t)}{t}$.

2. 假设对于某个正整数 $n$, 有 $\delta^{(n)}(t) = \dfrac{n!}{(-t)^n} \delta(t)$, 则

   即对于 $n + 1$ 也成立. 证毕.

证法四:

更简单也更自然的, 我们可以从定义出发.

由抽样性质 (这个性质可由分部积分法得到),

代入 $f(t) = \dfrac{(-t)^n}{n!}$ 和 $t_0 = 0$, 得

此外, 当 $t \ne 0$ 时, $\dfrac{(-t)^n}{n!} \delta^{(n)}(t) = 0$, 于是满足冲激函数的定义, 即

证毕.